Binomii sunt expresii matematice mici formate dintr-un termen variabil (x, a, 3x, 4t, 1090y) adăugat sau scăzut cu un termen constant (1, 3, 110 etc.). Binomii vor conține întotdeauna doar 2 termeni, dar sunt elementele de bază ale ecuațiilor mult mai mari și mai complexe cunoscute sub numele de polinoame, ceea ce le face incredibil de importante pentru a învăța bine. Această lecție va acoperi mai multe tipuri de multiplicare binomială, dar toate pot fi învățate și ele separat.
Pași
Metoda 1 din 3: Înmulțirea a două binomii
Pasul 1. Înțelegeți vocabularul matematic și tipurile de întrebări
Va fi imposibil să rezolvați întrebările la următorul test dacă nu știți ce vă pun. Din fericire, terminologia nu este incredibil de grea:
-
Termeni:
Un termen este pur și simplu o parte a ecuației care se adaugă sau se scade. Poate fi o constantă, variabilă sau ambele. De exemplu, în 12 + 13x + 4x2, termenii sunt 12, 13x, și 4x2.
-
Binom:
Acesta este doar un mod complicat de a spune „o expresie cu doi termeni”, cum ar fi x + 3 sau X4 - 3x.
-
Puteri:
aceasta se referă la un exponent pe un termen. De exemplu, am putea spune că x2 este „x la a doua putere”.
- Orice întrebare care vă solicită „Găsiți termenii a doi binomii (x + 3) (x + 2)”, „găsiți produsul a doi binomi” sau „extindeți cei doi binomi” vă solicită să multiplicați binomii.
Pasul 2. Aflați acronimul FOIL pentru a vă aminti ordinea multiplicării binomiale
FOIL este un ghid simplu pentru multiplicarea a două binomii. FOIL reprezintă ordinea de care aveți nevoie pentru a înmulți părțile binomilor împreună: F este pentru Primul, O este pentru Exterior, Eu sunt pentru Interior, iar L este pentru Ultimul.
Numele se referă la ordinea în care sunt scrise termenii. Să presupunem că înmulțim binomii (x + 2) și (x + 5). Termenii ar fi:
-
Primul:
x & x
-
Exterior:
x & 5
-
Interior:
2 & x
-
Ultimul:
2 & 5
Pasul 3. Înmulțiți PRIMA parte din fiecare paranteză
Acesta este „F” al FOIL. În exemplul nostru, (x + 2) (x + 5), primii termeni sunt „x” și „x”. Înmulțiți-le împreună și notați răspunsul: „x2."
-
Primul termen:
x * x = x2
Pasul 4. Înmulțiți părțile OUTER din fiecare paranteză
Acestea sunt două „capete” exterioare în problema noastră. Deci, în exemplul nostru (x + 2) (x + 5), acestea ar fi „x” și „5”. Împreună fac „5x”
-
Termen exterior:
x * 5 = 5x
Pasul 5. Înmulțiți părțile INTERNE din fiecare paranteză
Cele două numere cele mai apropiate de centru vor fi termenul tău interior. Pentru (x + 2) (x + 5), aceasta înseamnă că înmulțiți „2” și „x” pentru a obține „2x”.
-
Termenul interior:
2 * x = 2x
Pasul 6. Înmulțiți ULTIMELE părți din fiecare paranteză
Aceasta nu înseamnă ultimele două numere, ci mai degrabă ultimul număr din fiecare paranteză. Deci, pentru (x + 2) (x + 5), înmulțim „2” și „5” pentru a obține „10.”
-
Ultimul termen:
2 * 5 = 10
Pasul 7. Adăugați toți noii termeni împreună
Combinați termenii adăugându-i împreună pentru a crea o expresie nouă, mai mare. Din exemplul nostru anterior, obținem ecuația:
X2 + 5x + 2x + 10
Pasul 8. Simplificați termeni asemănători
Termenii asemănători sunt părți ale ecuației care au aceeași variabilă și putere. În exemplul nostru, termenii 2x și 5x împart ambii un x și pot fi adăugați împreună. Nici un alt termen nu este asemănător, așa că rămân așezați.
- Răspuns final: (x + 2) (x + 5) = X2 + 7x + 10
- Notă avansată: pentru a afla cum funcționează termenii, amintiți-vă noțiunile de bază ale multiplicării. 3 * 5, de exemplu, înseamnă că adăugați trei fives împreună pentru a obține 15 (5 + 5 + 5). În ecuația noastră, avem 5 * x (x + x + x + x + x) și 2 * x (x + x). Dacă adăugăm toate „x” -urile din ecuație obținem șapte „x” -uri, sau 7x.
Pasul 9. Amintiți-vă că numerele scăzute sunt negative
Când se scade un număr, este același lucru cu adăugarea unui număr negativ. Dacă uitați să păstrați semnul minus pe tot parcursul calculelor, veți avea un răspuns greșit. Luați exemplul (x + 3) (x-2):
-
Primul:
x * x = x2
-
Exterior:
x * -2 = - 2x
-
Interior:
3 * x = 3x
-
Ultimul:
3 * -2 = - 6
- Adăugați toți termenii împreună: x2 - 2x + 3x - 6
- Simplificați până la răspunsul final: X2 + x - 6
Metoda 2 din 3: Înmulțirea mai mult de două binomii
Pasul 1. Înmulțiți primele două binomii, ignorându-l temporar pe al treilea
Luați exemplul (x + 4) (x + 1) (x + 3). Trebuie să înmulțim binomii pe rând, deci înmulțiți-i pe cei doi fie prin FOIL, fie prin distribuirea termenilor. Înmulțirea primelor două, (x + 4) și (x + 1) cu FOIL ar arăta astfel:
-
Primul:
x * x = x2
-
Exterior:
1 * x = x
-
Interior:
4 * x = 4x
-
Ultimul:
1*4 = 4
- Combinați termeni: x2 + x + 4x + 4
- (x + 4) (x + 1) = X2 + 5x +4
Pasul 2. Combinați binomul rămas cu noua dvs. ecuație
Acum, acea parte a ecuației a fost multiplicată, puteți gestiona binomul rămas. În exemplu, (x + 4) (x + 1) (x + 3), termenul rămas a fost (x + 3). Puneți-l înapoi împreună cu noua ecuație, oferindu-vă: (x + 3) (x2 + 5x + 4).
Pasul 3. Înmulțiți primul număr din binom cu toate cele trei numere din cealaltă paranteză
Aceasta este distribuirea termenilor. Deci, pentru ecuația (x + 3) (x2 + 5x + 4), trebuie să multiplicați primul x cu cele trei părți ale celei de-a doua paranteze, „x2, "" 5x "și" 4."
- (x * x2) + (x * 5x) + (x * 4) = X3 + 5x2 + 4x
- Scrieți acest răspuns și salvați-l pentru mai târziu.
Pasul 4. Înmulțiți al doilea număr din binom cu toate cele trei numere din cealaltă paranteză
Luați ecuația, (x + 3) (x2 + 5x + 4). Acum, înmulțiți a doua parte a binomului cu toate cele trei părți din celelalte paranteze, „x2, "" 5x "și" 4."
- (3 * x2) + (3 * 5x) + (3 * 4) = 3x2 + 15x + 12
- Scrieți acest răspuns lângă primul răspuns.
Pasul 5. Adăugați împreună cele două răspunsuri din multiplicare
Trebuie să combinați răspunsurile din cei doi pași anteriori, deoarece acestea alcătuiesc cele două părți ale răspunsului dvs. final.
X3 + 5x2 + 4x + 3x2 + 15x + 12
Pasul 6. Simplificați ecuația pentru a obține răspunsul final
Orice termeni „like”, termeni care au aceeași variabilă și putere (cum ar fi 5x2 și 3x2), pot fi adăugate împreună pentru a vă simplifica răspunsul.
- 5x2 și 3x2 devin 8x2
- 4x și 15x devin 19x
- (x + 4) (x + 1) (x + 3) = X3 + 8x2 + 19x + 12
Pasul 7. Folosiți întotdeauna distribuția pentru a rezolva problemele de multiplicare mai mari
Deoarece puteți utiliza distribuția termenilor pentru a multiplica ecuațiile de orice lungime, aveți acum instrumentele necesare pentru a rezolva probleme mai mari, cum ar fi (x + 1) (x + 2) (x + 3). Înmulțiți orice două binomii împreună folosind fie distribuția de termeni, fie FOIL, apoi utilizați distribuția de termeni pentru a multiplica binomul final cu primii doi. În exemplul următor, FOIL (x + 1) (x + 2), apoi distribuim termenii cu (x + 3) pentru a obține răspunsul final:
- (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x + 1) (x + 2) * (x + 3)
- (x + 1) (x + 2) = x2 + 3x + 2
- (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x2 + 3: + 2) * (x + 3)
- (X2 + 3x + 2) * (x + 3) = x3 + 3x2 + 2x + 3x2 + 9x + 6
- Simplificați până la răspunsul final: X3 + 6x2 + 11x + 6
Metoda 3 din 3: Cuadrarea binomilor
Pasul 1. Știți cum să configurați „formule generale
Formulele generale vă permit să vă conectați numerele în loc să calculați FOIL de fiecare dată. Binomii care sunt ridicați la a doua putere, cum ar fi (x + 2)2, sau a treia putere, cum ar fi (4y + 12)3, poate fi încorporat cu ușurință într-o formulă preexistentă, făcând rezolvarea rapidă și ușoară. Pentru a găsi formula generală, înlocuim toate numerele cu variabile. Apoi, la final, ne putem conecta numerele înapoi pentru a obține răspunsul nostru. Începeți cu ecuația (a + b)2, Unde:
- A înseamnă termenul variabil (adică. 4y - 1, 2x2 + 3 etc.) Dacă nu există un număr, atunci a = 1, deoarece 1 * x = x.
- b înseamnă constantă adăugată sau scăzută (adică x + 10, t - 12).
Pasul 2. Să știți că binomii pătrate pot fi rescrise
(a + b)2 poate părea mai complicat decât exemplul nostru anterior, dar amintiți-vă că pătratul unui număr este doar multiplicarea acestuia de la sine. Astfel, putem rescrie ecuația pentru a arăta mai familiar:
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
Pasul 3. Folosiți FOIL pentru a rezolva noua ecuație
Dacă folosim folie pentru această ecuație, vom obține o formulă generală care arată ca soluția la orice multiplicare binomială. Amintiți-vă că în multiplicare ordinea pe care o multiplați nu contează.
- Rescrieți ca (a + b) (a + b).
-
Primul:
a * a = a2
-
Interior:
b * a = ba
-
Exterior:
a * b = ab
-
Ultimul:
b * b = b2.
- Adăugați noii termeni: a2 + ba + ab + b2
- Combinați termeni asemănători: a2 + 2ab + b2
- Notă avansată: Exponenții și radicalii sunt considerați ca fiind operații hiper-3, în timp ce înmulțirea și divizarea sunt hiper-2. Aceasta înseamnă că proprietățile de multiplicare și divizare nu funcționează pentru exponenți. (a + b)2 nu este egal cu a2 + b2. Aceasta este o greșeală foarte frecventă în rândul oamenilor.
Pasul 4. Folosiți ecuația generală a2 + 2ab + b2 să-ți rezolvi problemele.
Să luăm ecuația (x + 2)2. În loc să facem FOIL din nou, putem conecta primul termen pentru „a” și al doilea termen pentru „b”,
- Ecuația generală: a2 + 2ab + b2
- a = x, b = 2
- X2 + (2 * x * 2) + 22
- Răspuns final: x2 + 4x + 4.
- Puteți verifica întotdeauna munca dvs. efectuând FOIL pe ecuația originală, (x + 2) (x + 2). Veți primi același răspuns de fiecare dată dacă este făcut corect.
- Dacă un termen este scăzut, trebuie totuși să îl păstrați negativ în ecuația generală.
Pasul 5. Nu uitați să inserați întregul termen în ecuația generală
Dat fiind binomul (2x + 3)2, trebuie să vă amintiți că a = 2x, nu pur și simplu a = 2. Când aveți termeni complexi, trebuie să vă amintiți că atât 2 cât și x sunt pătrate.
- Ecuația generală: a2 + 2ab + b2
- Înlocuiți pentru a și b: (2x)2 + 2 (2x) (3) + 32
- Păstrați fiecare termen: (22)(X2) + 14x + 32
- Simplificați până la răspunsul final: 4x2 + 14x + 9